선형대수학 — Ax=b의 해는 'p + 동차해'다 (Theorem 6과 평행이동의 기하)

 

Ax=b 해의 구조 p + 동차해 대표 이미지

Ax = b를 풀었더니 답이 무수히 많이 나오는 경우가 있다. 이걸 어떻게 한 줄로 깔끔하게 표현하느냐가 이번 과제의 핵심이었는데, 답은 "아무 해 하나 + 동차 해 전부"라는 형태로 분해된다는 거였다. 이걸 한 번 익혀두니 동차/비동차 풀이가 사실상 같은 작업이 됐고, 나중에 미분방정식에서도 거의 똑같은 패턴이 또 나온다고 해서 신기했다.

동차(homogeneous)는 Ax = 0처럼 우변이 모두 0인 경우고, 비동차(nonhomogeneous)는 Ax = b처럼 우변에 0이 아닌 값이 있는 경우다. 동차는 무조건 x = 0이라는 자명해를 가지니까, 여기서 궁금한 건 "해가 있냐 없냐"가 아니라 "자명해 말고 다른 해가 있느냐"다.

David Lay 1.5절 Theorem 6은 이렇게 말한다. Ax = b가 어떤 b에 대해 해를 가진다고 하고, p를 그 해 하나(특수해)라고 하면, Ax = b의 해 집합은 w = p + vₕ 형태의 모든 벡터의 집합이다. 여기서 vₕ는 동차 방정식 Ax = 0의 임의의 해다. 풀어서 말하면 비동차의 일반해는 비동차의 특수해 하나에 동차의 일반해 전부를 더한 것과 같다.

왜 이게 성립하는지는 증명이 짧아서 직접 따라가 보는 게 빠르다. p가 Ax = b의 한 해라고 하면 Ap = b고, vₕ가 Ax = 0의 한 해라고 하면 Avₕ = 0이다. w = p + vₕ를 A에 넣으면 A(p + vₕ) = Ap + Avₕ = b + 0 = b가 되니까 w도 Ax = b의 해다. 반대로 w가 Ax = b의 어떤 해라고 하면 A(w - p) = Aw - Ap = b - b = 0이라서 w - p는 Ax = 0의 해가 되고, vₕ = w - p로 두면 w = p + vₕ 형태로 항상 쓸 수 있다.

기하학적으로 보면 이게 왜 자연스러운지 더 잘 보인다. Ax = 0의 해 집합은 항상 원점을 지나는 직선이나 평면이고, Ax = b의 해 집합은 그걸 p만큼 통째로 평행 이동한 것이다. 벡터 p는 원점에서 그 평면이나 직선이 어디로 옮겨졌는지 알려주는 이정표고, 방향(vₕ)은 그대로인 채 시작점만 옮겨진 셈이다.

6번과 20번 비교하기

과제 6번은 동차 방정식이었다.

 x +  3y -  5z = 0
 x +  4y -  8z = 0
-3x -  7y +  9z = 0

가우스 소거법으로 풀면 RREF가

[ 1   0   4 | 0 ]
[ 0   1  -3 | 0 ]
[ 0   0   0 | 0 ]

이 나오고, x = -4z, y = 3z, z는 자유 변수라서 매개변수 벡터로 정리하면 x = z·(-4, 3, 1)이다. 원점을 지나는 직선이고 방향은 (-4, 3, 1)이다.

20번은 계수가 똑같고 우변만 비동차였다.

 x +  3y -  5z =  4
 x +  4y -  8z =  7
-3x -  7y +  9z = -6

계수 행렬이 6번과 같으니 행 연산 결과도 거의 같고 우변만 따라온다. RREF는

[ 1   0   4 | -5 ]
[ 0   1  -3 |  3 ]
[ 0   0   0 |  0 ]

x₁ = -5 - 4z, x₂ = 3 + 3z, z는 자유라서 x = (-5, 3, 0) + z·(-4, 3, 1)로 정리된다. 특수해 p = (-5, 3, 0)이고 동차해 vₕ는 6번에서 구한 것과 정확히 같다.

6번은 원점을 지나는 직선, 20번은 같은 직선을 p = (-5, 3, 0)만큼 평행 이동한 직선이다. 방향 벡터가 (-4, 3, 1)로 똑같으니 두 직선은 평행하다. 과제에서 두 문제를 비교하라던 게 바로 이 결론이었다.

헷갈렸던 것들

특수해 p는 하나로 정해지는 게 아니다. 해가 무수히 많을 때 그중 아무거나 골라도 p로 쓸 수 있는데, 보통 자유 변수에 0을 대입한 해가 가장 깔끔하다. 20번에서 z = 0을 대입하면 p = (-5, 3, 0)이 나오지만 z = 1을 잡아서 p' = (-9, 6, 1)을 골라도 똑같이 정답이다. 다만 형태가 더 지저분해질 뿐이다.

동차 시스템은 항상 일관적(consistent)이다. 비동차는 0 = nonzero 모순이 나와서 해가 없을 수 있지만, 동차는 우변이 다 0이라 그런 모순이 절대 안 나온다. 최소한 자명해 x = 0은 항상 있기 때문이다.

자유 변수 개수가 곧 동차해의 차원이다. Ax = 0을 풀어서 자유 변수가 1개면 직선, 2개면 평면, 3개면 3차원 부분공간 식이다. Ax = b의 해 집합 차원도 똑같은데, 위치만 평행 이동한 거니까 당연한 얘기다.

Ax = b의 해가 유일하다는 것과 Ax = 0의 해가 자명해뿐이라는 건 같은 말이다. Ax = b의 해가 두 개(w₁, w₂)라면 w₁ - w₂는 동차해이면서 0이 아닌 벡터고, 반대로 동차해가 자명해뿐이라면 w - p = 0이라 w = p로 유일해진다.

이 패턴은 미분방정식에서도 그대로 나온다. y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) 같은 비동차 미분방정식의 일반해도 y(x) = y_c(x) + y_p(x)로 분해되는데, y_c는 동차 방정식의 일반해(complementary solution), y_p는 비동차의 특수해(particular solution)다. 선형대수에서 익힌 직관이 그대로 넘어간다.

참고

• David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 1.5절 Theorem 6
• Mathematics LibreTexts — The General Solution of a Linear System
• 미분방정식 교재의 Nonhomogeneous Linear Equations 챕터 (같은 정리의 연속체 버전)

왜 모든 해가 p + v 꼴인가

Ap=b인 특수해 p 하나를 잡고 다른 해 x를 빼면 A(x-p)=0이다. 따라서 x-p는 null space에 있고, 모든 해는 p+v(단, v∈N(A))로 쓸 수 있다. 비동차 해집합은 원점을 지나는 부분공간 자체가 아니라 null space를 p만큼 평행이동한 집합이다.

MIT 18.06 Ax=0과 특수해 강의

LibreTexts 선형시스템 해집합 문서

3Blue1Brown Essence of Linear Algebra 자료

Wolfram MathWorld Null Space

특수해는 하나로 고정되지 않는다. 다른 특수해를 골라도 둘의 차이가 null space 원소라서 전체 집합은 같아진다. 이 사실을 알고 나니 매개변수 해를 구할 때 “특수해를 예쁘게 골라도 되는 이유”가 명확해졌다.

참고 자료

• MIT Solving Ax=0
• 3Blue1Brown Linear Algebra
• MathWorld Null Space